Rozpatrzmy takie zadanie:
Janek mieszka na wsi, gdzie na jego podwórku znajdują się króliki i kury. Łączna liczba głów tych zwierząt wynosi 27, a suma ich nóg to 74. Ile spośród nich to króliki, a ile to kury?
Jakiś czas temu zamieściłem wpis Rozwiązywanie układów równań w Excelu (Solver). Ale istnieje inny sposób rozwiązywania równań. W szkole podstawowej (hmmm pewnie z 6-7 klasa podstawówki) poznałem tzw. „metodę wyznacznikową”. Polegało to na policzeniu wyznacznika (nie znałem wtedy pojęcia macierz) dla układu równań.
Nasza macierz W to
Macierz Wx (w miejsce X wstawiam wyrazy wolne) to:
Macierz Wy (w miejsce Y wstawiam wyrazy wolne) to:
Teraz należało obliczyć wyznaczniki wszystkich macierzy (w przypadku macierzy 2×2 sprawa jest banalna, jest to różnica dwóch iloczynów „po przekątnej”)
det W = 1*4 – 1*2 = 2
det Wx = 27*4 – 1*74 = 34
det Wy = 1 * 74 – 27 * 2 = 20
Aby obliczyć wartość x dzielimy wyznacznik macierzy Wx przez wyznacznik macierzy W (czyli x = 34/2 = 17). Analogicznie liczymy y (y = 20 / 2 = 10).
Uwaga: jeśli wyznacznik macierzy głównej (W) wyszedł by 0 to oznacza, że albo równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo jest sprzeczne).
Możemy to zadanie rozpisać w Excelu (zobacz arkusz kury i króliki). Ponieważ macierze są niewielkie, to można wyznacznik macierzy policzyć „ręcznie” ale jak najbardziej można skorzystać z gotowej funkcji WYZNACZNIK.MACIERZY.
Nieco bardziej skomplikowane zadanie
No dobra, ale co gdy mamy więcej niewiadomych? Tutaj sprawa wygląda bardzo podobnie. No może poza tym, że ręczne liczenie wyznacznika macierzy np. 4×4 byłoby bardzo męczące, dlatego tutaj już skorzystamy z gotowej funkcji WYZNACZNIK.MACIERZY. W przypadku rozwiązywania układu równań metodą Crammera musimy mieć tyle samo równań co niewiadomych (macierz musi być kwadratowa).
Rozpatrzmy takie zadanie:
Pierwszy klient dokonał zakupu 9 sztuk produktu x, 4 sztuki produktu y, 6 sztuk produktu z oraz 2 sztuki produktu w. Za całość zapłacił 68 złotych
Drugi klient dokonał zakupu 2 sztuk produktu x, 5 sztuki produktu y, 2 sztuk produktu z oraz 4 sztuki produktu w. Za całość zapłacił 55 złotych
Trzeci klient dokonał zakupu 6 sztuk produktu z oraz 2 sztuki produktu w. Za całość zapłacił 38 złotych
Ostatni klient dokonał zakupu 2 sztuk produktu z oraz 1 sztukę produktu w. Za całość zapłacił 15 złotych
Ile kosztuje każdy z produktów?
Rozpiszmy to w postaci układu równań, oraz macierzy:
Z kolei sposób liczenia jest taki sam jak w poprzednim zadaniu, po prostu teraz liczymy wyznaczniki dla 5 macierzy (w arkuszu jest macierz główna i po jednej macierzy dla każdej niewiadomej).
Oczywiście to samo zadanie można zrobić nieco zgrabniej korzystając z Pythona w Excelu (o ile masz pakiet Office 365).
